ІТЕРАЦІЙНІ АЛГОРИТМИ ЗНАХОДЖЕННЯ ЧИСЕЛ З ФІКСОВАНИМИ ЧАСТОТАМИ ЇХ СИМВОЛІВ

Abstract

Кожна система числення має свій алфавіт, який використовується для символічного зображення числа. Історично першою системою зображення дійсних чисел була s-адична система числення (1<sN). Вона має просту геометрію і сьогодні залишається найбільш поширеною і широковживаною. Ця система використовує алфавіт {0,1,...,s-1}=A і має нульову надлишковість. Кожне ірраціональне число є s-адично ірраціональним. Для теорії s- адично ірраціональних чисел природним є поняття частоти цифри в зображенні числа. Запропоновано алгоритми побудови континуальної множини ірраціональних коренів рівняння   s vi x  x та континуальної множини дійсних чисел, дробова частина яких має наперед задану, зокрема ірраціональну, частоту символа «і» в s-адичному зображенні числа х. Функція частоти цифри s ( ) i v x має непрості властивості. Вона є всюди розривною. В залежності від числа x частота s ( ) i v x може не існувати і може існувати та набувати різних значень. Множиною значень функції s ( ) i v x є відрізок [0,1]. Запропоновані в роботі алгоритми дозволяють знаходити інваріантні точки функції s ( ) i v x з будь-якою наперед заданою точністю та будувати континуальну множину чисел з наперед заданою частотою. Показано використання даних алгоритмів для проведення факультативних занять на фізико-математичних факультетах. Каждая система исчисления имеет свой алфавит, который используется для символического представления числа. Исторически, первой системой представления действительных чисел была s-адическая система исчисления (1<sN). Она имеет простую геометрию, и сегодня остается наиболее распространенной и широко используемой. Эта система использует алфавит {0,1,...,s-1}=A и имеет нулевую избыточность. Каждое иррациональное число есть s-адически иррациональным. Для теории s-адических иррациональных чисел естественным есть понятие частоты цифры в представлении числа. Предложен алгоритм построения континуального множества иррациональных корней уравнения   s vi x  x и континуального множества действительных чисел, дробная часть которых имеет заранее заданную, в частности иррациональную, частоту символа «і» в s- адическом изображении числа х. Функция частоты цифры s ( ) i v x имеет непростые свойства. Она всюду разрывная. В зависимости от числа x частота s ( ) i v x может не существовать и может существовать, и принимать разные значения. Множеством значений функции s ( ) i v x есть отрезок [0,1]. Предложенные в работе алгоритмы позволяют находить инвариантные точки функции s ( ) i v x с любой заранее заданной точностью и строить континуальное множество чисел с заранее заданной частотой. Показано использование данных алгоритмов для проведения факультативных занятий на физико-математических факультетах. Every numbering system has its own alphabet, which is used for symbolic representation of a number. Historically, the first system for representation of real numbers was s-adic numbering system (1<sN). It has a simple geometry and today it remains the most widespread and the most widely used. This system uses alphabet {0,1,...,s-1}=A and has a zero redundancy. Each irrational number is an s-adic irrational. A notion of a frequency of numbers in a number representation is natural for a theory of s-adic irrational numbers. Algorithms of building a conceptual set of irrational roots of equation   s vi x  x and a continual set of real numbers, fraction of which has a previously specified irrational frequency of the character «і» in s-aic representation of a number х are suggested. A function of frequency of the number s ( ) i v x has complicated properties. It is discontinuous everywhere. Depending on the number x, a frequency of s ( ) i v x can not exist and can exist and take different values. A set of values of the function s ( ) i v x is a segment [0,1]. Algorithms represetned in the paper allow to find invariant point of function s ( ) i v x with any previously specified accuracy and build a continuum of numbers with a previously specified frequency. Using these algorithms for conducting optional classes for faculties of physics and mathematics is shown.