МОДЕЛЮВАННЯ У СЕРЕДОВИЩІ MAPLE ЯК ЗАСІБ ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНДАМЕНТАЛЬНИХ ПОНЯТЬ І ПРОЦЕДУР ЛІНІЙНОЇ АЛГЕБРИ

Abstract

Стаття присвячена технології бінарного і «технології фундаментального навчання». Під бінарним навчанням розуміється одночасне навчання математики і інформатики, наприклад, диференціальних рівнянь і Maple, лінійної алгебри і Maple. Причому системного традиційного курсу Maple не проводиться. Використання можливостей Maple-технології при викладанні математики базується на таких фундаментальних поняттях інформатики як алгоритм, програма, лінійна програма, цикл, розгалуження, умовні оператори тощо. Тому розглядається тільки певна система команд-операторів Maple, котрі необхідні при вивченні фундаментальних понять лінійної алгебри та диференціальних рівнянь в Maple-середовищі. Умовна назва – «технологія фундаментального навчання» відображає дослідження фундаментальних математичних понять і відповідних процедур, котрі виражають властивості цих понять, в Maple-середовищі. У цій статті йдеться про дослідження складних фундаментальних понять лінійної алгебри (визначник матриці і алгоритм його обчислення, характеристичний многочлен матриці і власні значення матриці, канонічна форма характеристичної матриці, власні вектори матриці, елементарні дільники характеристичної матриці тощо), котрі розглядаються у відповідних курсах оглядово, а то і зовсім не розглядаються, хоча мають важливе значення у лінійних системах диференціальних рівнянь, асимптотичних методах розв’язування диференціальних рівнянь, системах лінійних алгебраїчних рівнянь. При цьому складні і об’ємні процедури відшукання наведених понять лінійної алгебри умонтовані у Maple і можуть виконуватися в результаті простої команди-оператора. Особливо важлива проблема зведення матриці до канонічного вигляду. Адже функції від матриць фактично зводяться до функцій від діагональних матриць чи матриць у канонічній формі Жордано. Саме ці форми матриць використовуються при піднесенні квадратної матриці до степеня, добуванні кореня n-го степеня із квадратної матриці, обчислення експоненти від матриці і т.п. Автор створює чотири базові канонічні форми-моделі матриць і показує як конструювати матриці, котрі подібним перетворенням зводяться до цих чотирьох. Наводяться програми-процедури конструювання квадратних матриць на основі вибраних канонічних матрицях-моделях. Тоді можна створити достатню кількість варіантів квадратних матриць на основі канонічних матриць-моделей, що дозволяє застосовувати індивідуальні технології навчання. Використання Maple-технології дозволяє автоматизувати громіздкі і складні процедури відшукання матриці перетворення, канонічної форми матриці, значень функцій від матриць тощо, що не тільки економить час, а і концентрує увагу і зусилля на розуміння наведених вище фундаментальних понять лінійної алгебри і процедур дослідження їх властивостей. Все це створює сприятливі умови використання фундаментальних понять лінійної алгебри в науковій і дослідницькій роботі студентів і магістрантів з використанням Maple-технології. The article is devoted to binary technology and "fundamental training technology." Binary training refers to the simultaneous teaching of mathematics and computer science, for example differential equations and Maple, linear algebra and Maple. Moreover the system of traditional course of Maple is not performed. The use of the opportunities of Maple-technology in teaching mathematics is based on the following fundamental concepts of computer science as an algorithm, program, a linear program, cycle, branching, relative operators, etc. That’s why only a certain system of command operators in Maple is considered. They are necessary for fundamental concepts of linear algebra and differential equations studying in Maple-environment. Relative name - "the technology of fundamental training" reflects the study of fundamental mathematical concepts and procedures that express the properties of these concepts in Maple-environment. This article deals with the study of complex fundamental concepts of linear algebra (determinant of the matrix and algorithm of its calculation, the characteristic polynomial of the matrix and the eigenvalues of matrix, canonical form of characteristic matrix, eigenvectors of matrix, elementary divisors of the characteristic matrix, etc.), which are discussed in the appropriate courses briefly enough, and sometimes are not considered at all, but they are important in linear systems of differential equations, asymptotic methods for solving differential equations, systems of linear equations. Herewith complex and voluminous procedures of finding of these linear algebra concepts embedded in Maple can be performed as a result of a simple command-operator. Especially important issue is building matrix to canonical form. In fact matrix functions are effectively reduced to the functions of the diagonal matrix or matrix in Jordan canonical form. These matrices are used to rise a square matrix to a power, to extract the roots of the n-th degree of a square matrix, to calculate matrix exponent, etc. The author creates four basic forms of canonical models of matrices and shows how to design matrices of similar transformations to these four forms. We introduce the programs-procedures for square matrices construction based on the selected models of canonical matrices. Then you can create a certain amount of various square matrices based on canonical matrix models, it allows to use individual learning technologies. The use of Maple-technology allows to automate the cumbersome and complex procedures for finding the transformation matrices of canonical form of a matrix, values of matrices functions, etc., which not only saves time but also attracts attention and efforts on understanding the above mentioned fundamental concepts of linear algebra and procedures for investigation of their properties. All these create favorable conditions for the use of fundamental concepts of linear algebra in scientific and research work of students and undergraduates using Maple-technology.