Застосування перетворень евклідової площини до розв’язування задач

Abstract

В ряді навчальних дисциплін, що складають в сукупності шкільний курс математики (алгебра та початки аналізу, геометрія, тригонометрія), геометрія грає особливо важливу роль. Ця роль визначається і відносною складністю геометрії у порівнянні з іншими предметами математичного циклу. Геометрія повинна також знайомити учнів з деякими загальними ідеями, які можуть наблизити їх до розуміння найбільш важливих питань сучасної науки. Однією з таких ідей є ідея перетворення. Ідея перетворень є однією з провідних у сучасній математичній науці і в різних галузях її застосувань. Вона тісно пов‘язана з ідеями відображень, які широко використовуються в практиці (архітектура, геодезія тощо) та функцій, оскільки функціональна залежність встановлює співвідношення між числовими значеннями величин, а геометричні перетворення дозволяють знайти зв‘язок між різними геометричними фігурами. Перетворення площини та метод подібності широко використовуються в курсі планіметрії при введенні нових понять, доведень теорем, розв‘язуванні задач на побудову тощо. Серед перетворень особливе місце займають центральна та осьова симетрії. За допомогою центральної симетрії вивчається теорія паралельних, а за допомогою осьової симетрії вводиться поняття перпендикулярності прямих на площині. Теорія подібності, зокрема, гомотетія, відіграє особливо важливу роль в навчанні учнів розв‘язуванню геометричних задач. Саме цією актуальністю даного питання обумовлено вибір теми роботи та визначений її практичний напрямок. Основна мета дослідження – розкрити питання про можливість застосування перетворень площини до розв’язування різноманітних задач та доведення тверджень. Предметом дослідження виступають перетоврення площини, а об’єктом дослідження – безпосередньо рухи та перетворення подібності площини. In a number of disciplines that together constitute the school course of mathematics (algebra and the beginnings of analysis, geometry, trigonometry), geometry plays a particularly important role. This role is determined by the relative complexity of geometry in comparison with other subjects of the mathematical cycle. Geometry should also introduce students to some general ideas that can bring them closer to understanding the most important issues of modern science. One such idea is the idea of transformation. The idea of transformations is one of the leading in modern mathematical science and in various fields of its applications. It is closely related to the ideas of mappings, which are widely used in practice (architecture, geodesy, etc.) and functions, because the functional relationship establishes the relationship between numerical values, and geometric transformations allow you to find a connection between different geometric shapes. The plane transformation and the method of similarity are widely used in the course of planimetry in the introduction of new concepts, proofs of theorems, solving construction problems, and so on. Among the transformations a special place is occupied by central and axial symmetries. With the help of central symmetry the theory of parallels is studied, and with the help of axial symmetry the concept of perpendicularity of lines on a plane is introduced. Similarity theory, in particular homothety, plays a particularly important role in teaching students to solve geometric problems. It is this relevance of this issue that determines the choice of the topic of the work and determines its practical direction. The main purpose of the study is to reveal the possibility of applying plane transformations to solve various problems and prove statements. The subject of the study is the transformation of the plane, and the object of research is the direct motion and transformation of the similarity of the plane.