Browsing by Author "Кушнір, В. А."

Now showing 1 - 4 of 4

КОНСТРУЮВАНННЯ НАВЧАЛЬНИХ ЗАВДАНЬ З МАТЕМАТИКИ: МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ, АЛГОРИТМИ, ПРОГРАМИ
(2014) Кушнір, В. А.
Проблема формування в майбутніх і нинішніх учителів математики інтегративних знань як знань більш високого рівня в порівнянні зі знаннями окремих предметів (математики й інформатики) зводиться до розв’язування певних навчальних ситуацій, що вимагають одночасного застосування знань й умінь різних предметів. До таких проблем відноситься проблема автоматизованого конструювання навчальних завдань певного виду із заздалегідь визначеними властивостями. В основі розв’язування цієї проблеми лежить створення математичної моделі потрібного математичного об’єкту, її дослідження та розв’язування. Математична модель визначеного виду навчального завдання містить певну множину параметрів, а підбір значень цих параметрів визначає потрібні властивості навчального завдання. У свою чергу, властивості навчального завдання в процесі їх формалізації перетворюються в певні умови, наприклад, у вигляді рівнянь чи нерівностей. Формалізація сукупності заданих властивостей шуканого математичного завдання приводить до системи рівнянь і нерівностей. Отже, наша задача зводиться до побудови математичної моделі у вигляді системи рівнянь і нерівностей. Перший варіант математичної моделі потрібно дослідити на несуперечність, повноту, мінімальність умов. Після корегування (зміни, вилучення чи додавання певних умов) математична модель підлягає розв’язуванню, тобто пошуку потрібних значень параметрів. Такий процес називається розв’язуванням математичної моделі, спосіб розв’язування знаходиться чи створюється автором математичної моделі. Математичні моделі конструювання навчальних завдань з математики створюються у такий спосіб, що розв’язками математичної моделі будуть попередньо обрані числа, наприклад, цілі числа з певного проміжку. Різні вектори-розв’язки математичної моделі визначають конкретні приклади з певного типу прикладів. У нашій статті конструюється неперервна дробово-раціональна функція з точно двома екстремумами. При цьому розглядаються наукові підходи та способи розв’язування математичної моделі. По суті описується пошук прийнятного способу розв’язування математичної моделі у вигляді системи рівнянь і нерівностей. На основі способу розв’язування моделі створюються алгоритми та програми на мові Maple для автоматизації процесу розв’язування моделі. При цьому розв’язки моделі генеруються попередньо за вибором користувача. Різні вектори-розв’язки математичної моделі визначають різні математичні завдання одного типу. У статті описаний загальний підхід, розроблений автором, до створення й розв’язування математичної моделі задачі конструювання певної функції. Однак, наведена авторська технологія конструювання однаково добре працює при конструюванні многочленів з певною кількістю екстремумів, різного типу ірраціональних, логарифмічних рівнянь і нерівностей, систем лінійних рівнянь, матриць з наперед заданими власними значеннями, дробово-раціональних рівнянь і нерівностей і т.д.
МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ПРИ КОНСТРУЮВАННІ РІВНЯНЬ, ЩО МІСТЯТЬ НЕВІДОМУ ПІД ЗНАКОМ МОДУЛЯ З ВИКОРИСТАННЯМ MAPLE-ТЕХНОЛОГІЇ
(2017) Кушнір, В. А.; Kushnir, V.
На основі математичного моделювання створюється технологія конструювання рівнянь і нерівностей, що містять невідому під знаком модуля. Розглядаються такі основні етапи задачі конструювання рівнянь, що містять невідому під знаком модуля: 1) Постановка задачі (визначення виду математичного об’єкту та його властивостей, наприклад, визначення виду і властивостей рівняння; 2) створення чи відшукання наукового підходу щодо створення математичної моделі, наприклад, у вигляді ідеї; 3) створення математичної моделі, її дослідження й корегування; 4) створення чи відшукання наукового підходу щодо розв’язування математичної моделі і створення на основі наукового підходу способу розв’язування математичної моделі; 5) створення на основі способу алгоритму розв’язування математичної моделі; 6) створення відповідно алгоритму програми на певній алгоритмічній мові реалізації алгоритму (у нас Maple]); 7) налагодження програми і виконання програми; 8) аналіз отриманих результатів і їх трансляція на умову задачі. Зауважимо, що на кожному етапі можливі ситуації необхідного корегування, тоді потрібно повертатися до попередніх етапів і вносити в них корективи. Досліджуються різні випадки таких рівнянь з огляду на кількість розв’язків: рівняння має три розв’язки, два, один, жодного, безліч. Будуються відповідні математичні моделі, котрі потім досліджуються і розв’язуються. При розв’язуванні математичних моделей у вигляді систем рівнянь і нерівностей громіздкі перетворення й обчислення виконуються в Maple-технології, що значно покращило якість таких перетворень, зберегло значний час та дозволило виконувати комп’ютерні експерименти без значних зусиль. Створений алгоритм і програма за отриманим способом конструювання отримувати достатню кількість однотипних варіантів завдань з відповідями для створення тестів чи індивідуальних завдань. The technology of designing equations and inequalities containing unknown quantity under the sign of module based on mathematical modeling is established. We consider the following key steps of constructing equations containing unknown under the sign of module: 1) Statement of a problem (finding the type of mathematical object and its properties, such as the type and properties of the equation, 2) creating or finding a scientific approach to create a mathematical model, for example in the form of ideas; 3) creation of mathematical model it’s research and adjustments; 4) creation or finding a scientific approach to solve the mathematical model and the creation of a scientific approach based on the method of solving mathematical model; 5) creation of algorithm based on the method for solving mathematical model; 6) creation of algorithm program according to specific algorithmic language of the algorithm (we have Maple); 7) adjustment of the program and the program execution; 8) analysis of the results and their broadcast on the problem. Note that at every stage there are situations of necessary adjustments, then you should go back to the previous steps and make adjustments to them. The different cases of equations, the number of solutions are investigated: equation has three, two, one, none, plenty solutions. The appropriate mathematical models are constructed which are then investigated and resolved. When solving mathematical models in the form of equations and inequalities bulky conversion and calculations are performed in Maple-technology, which significantly improved the quality of such changes, retained considerable time and allowed the computer to perform experiments without much effort. Established algorithm and program according to the designed method allow to get enough of similar tasks with answers options to create tests or individual tasks.
МОДЕЛЮВАННЯ У СЕРЕДОВИЩІ MAPLE ЯК ЗАСІБ ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНДАМЕНТАЛЬНИХ ПОНЯТЬ І ПРОЦЕДУР ЛІНІЙНОЇ АЛГЕБРИ
(2016) Кушнір, В. А.; Kushnir, B.
Стаття присвячена технології бінарного і «технології фундаментального навчання». Під бінарним навчанням розуміється одночасне навчання математики і інформатики, наприклад, диференціальних рівнянь і Maple, лінійної алгебри і Maple. Причому системного традиційного курсу Maple не проводиться. Використання можливостей Maple-технології при викладанні математики базується на таких фундаментальних поняттях інформатики як алгоритм, програма, лінійна програма, цикл, розгалуження, умовні оператори тощо. Тому розглядається тільки певна система команд-операторів Maple, котрі необхідні при вивченні фундаментальних понять лінійної алгебри та диференціальних рівнянь в Maple-середовищі. Умовна назва – «технологія фундаментального навчання» відображає дослідження фундаментальних математичних понять і відповідних процедур, котрі виражають властивості цих понять, в Maple-середовищі. У цій статті йдеться про дослідження складних фундаментальних понять лінійної алгебри (визначник матриці і алгоритм його обчислення, характеристичний многочлен матриці і власні значення матриці, канонічна форма характеристичної матриці, власні вектори матриці, елементарні дільники характеристичної матриці тощо), котрі розглядаються у відповідних курсах оглядово, а то і зовсім не розглядаються, хоча мають важливе значення у лінійних системах диференціальних рівнянь, асимптотичних методах розв’язування диференціальних рівнянь, системах лінійних алгебраїчних рівнянь. При цьому складні і об’ємні процедури відшукання наведених понять лінійної алгебри умонтовані у Maple і можуть виконуватися в результаті простої команди-оператора. Особливо важлива проблема зведення матриці до канонічного вигляду. Адже функції від матриць фактично зводяться до функцій від діагональних матриць чи матриць у канонічній формі Жордано. Саме ці форми матриць використовуються при піднесенні квадратної матриці до степеня, добуванні кореня n-го степеня із квадратної матриці, обчислення експоненти від матриці і т.п. Автор створює чотири базові канонічні форми-моделі матриць і показує як конструювати матриці, котрі подібним перетворенням зводяться до цих чотирьох. Наводяться програми-процедури конструювання квадратних матриць на основі вибраних канонічних матрицях-моделях. Тоді можна створити достатню кількість варіантів квадратних матриць на основі канонічних матриць-моделей, що дозволяє застосовувати індивідуальні технології навчання. Використання Maple-технології дозволяє автоматизувати громіздкі і складні процедури відшукання матриці перетворення, канонічної форми матриці, значень функцій від матриць тощо, що не тільки економить час, а і концентрує увагу і зусилля на розуміння наведених вище фундаментальних понять лінійної алгебри і процедур дослідження їх властивостей. Все це створює сприятливі умови використання фундаментальних понять лінійної алгебри в науковій і дослідницькій роботі студентів і магістрантів з використанням Maple-технології. The article is devoted to binary technology and "fundamental training technology." Binary training refers to the simultaneous teaching of mathematics and computer science, for example differential equations and Maple, linear algebra and Maple. Moreover the system of traditional course of Maple is not performed. The use of the opportunities of Maple-technology in teaching mathematics is based on the following fundamental concepts of computer science as an algorithm, program, a linear program, cycle, branching, relative operators, etc. That’s why only a certain system of command operators in Maple is considered. They are necessary for fundamental concepts of linear algebra and differential equations studying in Maple-environment. Relative name - "the technology of fundamental training" reflects the study of fundamental mathematical concepts and procedures that express the properties of these concepts in Maple-environment. This article deals with the study of complex fundamental concepts of linear algebra (determinant of the matrix and algorithm of its calculation, the characteristic polynomial of the matrix and the eigenvalues of matrix, canonical form of characteristic matrix, eigenvectors of matrix, elementary divisors of the characteristic matrix, etc.), which are discussed in the appropriate courses briefly enough, and sometimes are not considered at all, but they are important in linear systems of differential equations, asymptotic methods for solving differential equations, systems of linear equations. Herewith complex and voluminous procedures of finding of these linear algebra concepts embedded in Maple can be performed as a result of a simple command-operator. Especially important issue is building matrix to canonical form. In fact matrix functions are effectively reduced to the functions of the diagonal matrix or matrix in Jordan canonical form. These matrices are used to rise a square matrix to a power, to extract the roots of the n-th degree of a square matrix, to calculate matrix exponent, etc. The author creates four basic forms of canonical models of matrices and shows how to design matrices of similar transformations to these four forms. We introduce the programs-procedures for square matrices construction based on the selected models of canonical matrices. Then you can create a certain amount of various square matrices based on canonical matrix models, it allows to use individual learning technologies. The use of Maple-technology allows to automate the cumbersome and complex procedures for finding the transformation matrices of canonical form of a matrix, values of matrices functions, etc., which not only saves time but also attracts attention and efforts on understanding the above mentioned fundamental concepts of linear algebra and procedures for investigation of their properties. All these create favorable conditions for the use of fundamental concepts of linear algebra in scientific and research work of students and undergraduates using Maple-technology.
ТЕХНОЛОГІЯ КОНСТРУЮВАННЯ КВАДРАТНИХ РІВНЯНЬ І СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ З ПАРАМЕТРАМИ В MAPLE-СЕРЕДОВИЩІ
(2017) Кушнір, В. А.; Kushnir, V.
Досліджується проблема конструювання квадратних рівнянь і систем рівнянь з параметрами з використанням Maple-технології. На сьогодні в навчальний процес усе частіше впроваджуються «задачі зворотного мислення» (В.А.Крутенький) або просто «зворотні задачі» (П.М.Ерднієв). Задачі конструювання математичних завдань заздалегідь визначеного виду і з визначеними властивостями є зворотними завданнями, котрі розгортають ще один аспект навчальної ситуації і тим самим створюють «надлишок її бачення» (М.М.Бахтін). Розв’язування зворотних задач розвивають у студентів чи учнів мислення, уяву та інші вищі психічні функції. Однак їх упровадження в навчальний процес ще недостатнє. Однією з причин такої ситуації є недостатня кількість посібників з достатньою кількістю варіантів однотипних завдань. Особливо це стосується конструювання завдань з параметрами. Конструювання в «ручному режимі» вимагає значних часових, когнітивних, фізичних та інших затрат, несе в собі ризики технічних та обчислювальних помилок. У час інформаційного суспільства і цифрової економіки є всі можливості виконувати дії конструювання в певному ІКТ-середовищі (у нас Maple-середовище), що значною мірою розв’язує наведені проблеми конструювання, створює нове інтегративне навчально-інформаційне середовище, дозволяє в автоматичному режимі продукувати достатню кількість різних варіантів однотипних завдань. Задачі з параметрами є одними із завдань, розв’язання котрих вимагає від суб’єктів учіння творчості, зокрема нестандартного підходу до розв’язування. Кожна задача з параметрами вимагає свого окремого способу й алгоритму розв’язування і тому вимагає продуктивного учіння, що не вписується в стандартні способи й алгоритми. Стаття присвячена розв’язуванню наведених проблем. The problem of constructing quadratic equations and systems of equations with parameters using Maple-technology is studied. Today, the "learning tasks of reverse thinking" (V.A. Krutetsky) or simply "inverse problems" (P.M.Erdniev) are increasingly being introduced into the educational process. The tasks of constructing mathematical tasks in advance of a certain type and certain properties are inverse problems that unfold another aspect of the learning situation and thereby create a "surplus of its vision" (M.M. Bakhtin). The solution of inverse problems develops students’ thinking, imagination and other higher mental functions. However, their introduction into the educational process is still insufficient. One of the reasons for this situation is the insufficient number of benefits with a sufficient number of variants of the same type of tasks. Especially it concerns the construction of problems with parameters. Designing in "manual mode" requires significant temporary cognitive, physical and other efforts, carries the risks of allowing technical and computational errors. In the days of the information society and the digital economy, there are all the possibilities to perform the chain of design actions in a certain ICT environment (we have a Maple-environment). It solves the resulted difficulties of construction, creates a new educational and information environment, allows to produce automatically a sufficient number of different versions of the same type of tasks. Tasks with parameters require creativity from the students, non-standard approaches to the solution. Each task with parameters requires the creation of its own method and algorithm for solving and productive learning. The article is devoted to solving of the above problems.