Browsing by Author "Savchenko, A. G."

Now showing 1 - 6 of 6

ANALYTICAL AND GEOMETRIC INTERPRETATION OF THE FLAT ARRANGEMENT OF POINTS BY MEANS OF METRIC GEOMETRY IN THE STUDY OF METRIC SPACES
(2024) Kuzmich, V. I.; Kuzmich, L. V.; Savchenko, A. G.; Valko, K. V.
When studying metric spaces, students of higher education often have difficulties with understanding the basic concepts and properties of these spaces. This, to a large extent, is a consequence of the significant level of formalization of such concepts on the one hand, and the preservation of the corresponding formulations and names familiar to students from a school mathematics course. To overcome these difficulties, it is advisable to use methods of geometric interpretation and visualization of these properties. At the same time, it is appropriate to use elements of metric geometry. Its methods make it possible to interpret the geometric features of the mutual placement of points of metric space in Cartesian (rectangular) coordinate systems, which are familiar to students of higher education. Moreover, it becomes possible to visualize these features with the help of graphic editors, since they, as a rule, use numerical values of the coordinates of points to visualize them. Based on the definition of an angle as an ordered trio of points of an arbitrary metric space, and the angular characteristic of this angle, the fact of the flat placement of four points of a non-Euclidean metric space is established, and examples of digital visualization of this arrangement using the dynamic geometric environment GeoGebra 3D are given.
GEOMETRIC INTERPRETATION AND VISUALIZATION OF PARTICULAR GEOMETRIC CONCEPTS AT METRIC SPACES STUDY
(2022) Kuzmich, V. I.; Kuzmich, L. V.; Savchenko, A. G.; Valko, K. V.
The paper considers the issues of studying method of geometric properties of metric spaces. These questions arise when students learn the basic concepts of the metric spaces theory. Difficulty in the concepts understanding arises due to the lack of the geometric interpretation or appropriate visualization. To build a geometric interpretation of rectilinear and flat placement of points of metric space, it is proposed to build the appropriate analogues in two-dimensional and three-dimensional arithmetic Euclidean spaces. To visualize these concepts, it is proposed to use a dynamic geometric environment GeoGebra 3D. This approach allows to demonstrate both the similarity of individual geometric concepts of metric space with the corresponding concepts of Euclidean geometry, and cases of the “non-Euclidean”. The study is useful for teachers and students of higher education institutions majoring in physics and mathematics. Some examples can be used in the study of basic geometric concepts by students of secondary education, in-depth study of mathematics and in various types of informal education.
GEOMETRIC RELATIONS IN AN ARBITRARY METRIC SPACE
(2019) Kuz’mich, V. I.; Savchenko, A. G.; Кузьмич, В. І.; Савченко, О. Г.
ON THE TOPOLOGY OF QUASI-EINSTEIN SPACES
(2020) Kiosak, V.; Savchenko, A. G.; Khniunin, S.; Савченко, О. Г.
The paper treats a particular type of pseudo-Riemannian spaces, namely quasi-Einstein spaces with gradient deﬁning vector. These spaces are a generalization of well-known Einstein spaces. There are three types of these spaces that permit locally geodesic mappings. We studied some geometric properties of every type.
ВИКОРИСТАННЯ ЕЛЕМЕНТІВ ГЕОМЕТРІЇ ПІД ЧАС ВИВЧЕННЯ СТУДЕНТАМИ МЕТРИЧНИХ ПРОСТОРІВ
(2021) Кузьмич, В. І.; Кузьмич, Л. В.; Савченко, О. Г.; Kuz’mich, V. I.; Kuzmich, L. V.; Savchenko, A. G.
Вивчення метричних просторів студенти фізико-математичних спеціальностей у закладах вищої освіти розпочинають, як правило, на другому курсі під час студіювання функцій багатьох змінних. Це вивчення значною мірою присвячене диференціальним та інтегральним властивостям цих функцій у різних метричних просторах. У роботі пропонується використання елементів метричної геометрії для поглиблення знань здобувачів освіти із властивостей метричних просторів під час їх вивчення на фізико математичних спеціальностях педагогічного спрямування. Такий підхід зумовлений стрімким розвитком метричної геометрії у сучасній математиці та широким її застосуванням у різних галузях науки і навіть економіки. Значна частина матеріалу класичної геометрії Евкліда може бути представлена у вигляді аналітичних співвідношень між її основними поняттями: точка, відстань між точками, кут, відрізок. Прикладом може слугувати класична теорема Піфагора про співвідношення між довжинами сторін прямокутного трикутника. У даній статті, на основі аксіом відстані між точками метричного простору, наведені окремі аналітичні співвідношення, що носять геометричний характер у геометрії Евкліда. Відтак виникає можливість геометричної структуризації метричних просторів. Це дає змогу здобувачам освіти вивчати ці простори з геометричної точки зору, будуючи в них образи класичних геометричних понять. Частина запропонованого у статті матеріалу, внаслідок його простоти, може бути використана під час роботи з учнями класів із поглибленим вивченням математики у закладах середньої освіти. З цією метою у роботі розглядаються специфічні означення прямолінійного розміщення точок метричного простору, кута, утвореного трьома точками простору, та його кутової характеристики. Вони значно спрощують сприйняття наведених результатів і дають можливість впровадження їх у шкільний курс математики. The study of metric spaces students of physical and mathematical specialties in higher education institutions begin, as a rule, in the second year, when studying the functions of several variables. This study is largely devoted to the differential and integral properties of these functions in different metric spaces. The paper proposes the use of elements of metric geometry to deepen knowledge of the properties of metric spaces in their study by students in physical and mathematical specialties of pedagogical direction. This approach is due to the rapid development of metric geometry in modern mathematics and its widespread use in various fields of science and economics. Much of the material of classical Euclidean geometry can be represented in the form of analytical relationships between its basic concepts: point, distance between points, angle, segment. An example here is the classical Pythagorean theorem on the relationship between the lengths of the sides of a right triangle. In this paper, based on the axioms of the distance between the points of the metric space, some analytical relations are given that are geometric in Euclidean geometry. Thus, there is a possibility of geometric structuring of metric spaces. This allows students to study these spaces from a geometric point of view, building in them images of classical geometric concepts. Part of the proposed material, due to its simplicity, can be used when working with students in classes with in-depth study of mathematics in secondary education. To this end, the paper considers the specific definitions of the rectilinear location of the points of the metric space, the angle formed by the three points of space and its angular characteristics. They greatly simplify the perception of these results and allow their design in the school course of mathematics.
ІНТЕРПРЕТАЦІЯ ВЗАЄМНОГО РОЗМІЩЕННЯ ТОЧОК МЕТРИЧНОГО ПРОСТОРУ ЗА ДОПОМОГОЮ ГРАФІЧНИХ ЗАСОБІВ
(2022) Кузьмич, В. І.; Валько, К. В.; Кузьмич, Л. В.; Савченко, О. Г.; Kuzmich, V. I.; Valko, K. V.; Kuzmich, L. V.; Savchenko, A. G.
Формулювання проблеми. У даній роботі розглядаються питання, що стосуються методики вивчення геометричних властивостей метричних просторів. Ці питання з необхідністю виникають під час засвоєння студентами основних понять теорії метричних просторів. Складність у розумінні цих понять виникає внаслідок відсутності, у більшості випадків, їх геометричної інтерпретації, або ж відповідної візуалізації. Для побудови геометричної інтерпретації понять прямолінійного та плоского розміщення точок метричного простору пропонується будувати відповідні аналоги у двовимірному та тривимірному арифметичних евклідових просторах. Для візуалізації цих понять пропонується використати динамічне геометричне середовище GeoGebra 3D. Такий підхід дозволяє продемонструвати як схожість окремих геометричних понять метричного простору з відповідними поняттями геометрії Евкліда, так і продемонструвати випадки їх «неевклідовості». Матеріали і методи. Для виконання дослідження використовувалось динамічне геометричне середовище GeoGebra 3D, програмний засіб обчислення об’єму тетраедра за довжинами його ребер, а також графічні засоби побудови зображень. Результати. Наведені у даній роботі приклади геометричної інтерпретації та візуалізації взаємного розміщення точок метричного простору сприяють більш глибокому та усвідомленому сприйняттю і розумінню студентами основ теорії метричних просторів. Висновки. Метрична геометрія дає можливість розглядати геометрію Евкліда та неевклідові геометрії з однієї точки зору. Аналогія окремих співвідношень між точками метричного простору з відповідними співвідношеннями у геометрії Евкліда дає можливість прослідкувати зміну характерних геометричних властивостей простору при зміні його метрики. Застосування спеціальних графічних можливостей відповідних програмних засобів дозволяє не лише візуалізувати взаємне розміщення точок метричного простору, але і прослідкувати його зміну при зміні точки спостереження цього розміщення. Візуалізація геометричних властивостей метричних просторів сприяє більш глибокому та усвідомленому сприйняттю і розумінню студентами основ теорії метричних просторів. Formulation of the problem. This paper considers issues related to the method of studying the geometric properties of metric spaces. These questions necessarily arise when students learn the basic concepts of the theory of metric spaces. Difficulty in understanding these concepts arises due to the lack, in most cases, of their geometric interpretation, or appropriate visualization. To build a geometric interpretation of the concepts of rectilinear and flat placement of points of metric space, it is proposed to build appropriate analogs in two-dimensional and three dimensional arithmetic Euclidean spaces. To visualize these concepts, it is proposed to use a dynamic geometric environment GeoGebra 3D. This approach allows us to demonstrate both the similarity of individual geometric concepts of metric space with the corresponding concepts of Euclidean geometry and to demonstrate cases of their "non-Euclidean". Materials and methods. The study used the dynamic geometric environment GeoGebra 3D, a software tool for calculating the volume of a tetrahedron along the lengths of its edges, as well as graphical tools for constructing images. Results. The examples of geometric interpretation and visualization of mutual placement of points of metric space given in this work promote deeper and more conscious perception and understanding by students of the basics of the theory of metric spaces. Conclusions. Metric geometry makes it possible to consider Euclidean geometry and non-Euclidean geometries from one point of view. The analogy of individual relations between the points of metric space with the corresponding relations in Euclidean geometry makes it possible to trace the change in the characteristic geometric properties of space when its metric changes. The use of special graphical capabilities of the corresponding software allows not only to visualize the mutual location of the points of the metric space but also to track its change when changing the observation point of this location. Visualization of geometric properties of metric spaces contributes to a deeper and more conscious perception and understanding by students of the basics of the theory of metric spaces.