ДОСЛІДЖЕННЯ РІЗНИХ ТИПІВ МНОЖИН АНОРМАЛЬНИХ ТА АНТИНОРМАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

Abstract

Дослідження присвячене вивченню сімей дійсних чисел, s-адичне зображення яких має певні асимтотичні або квазіперіодичні властивості, а саме: вивченню тополого-метричних і фрактальних властивостей множин розв'язків рівнянь: vis(x)=kx+b, де vis(x) - асимтотична частота цифри «i» в s-адичному зображенні числа x. При b=0, вказано алгоритм побудови розв'язку рівняння, доведено континуальність множини розв'язків, її всюди щільність і всюди розривність, нуль-мірність (в розумінні міри Лебега), дано нижню оцінку фрактальної розмірності Хаусдорфа-Безиковича. Обчислено розмірність Хаусдорфа-Безиковича множини коренів рівняння ()1sxxν= (s>2), які знаходяться за вказаним алгоритмом. In this study we examine families of real numbers such that their -adic representations have some asymptotic or quasiperiodic properties. Let vis(x) be an asymptotic frequency of digit «i» in s-adic representation of. These functions are functions with complex local structure, and almost all their levels are fractal sets. We study topological, metric and fractal properties of the sets of solutions of equations vis(x)=kx+b and f(x)=x. We give the algorithm of construction of the solution, prove that the set of solutions is a continuum everywhere dense and totally disconnected set of zero Lebesgue measure. The lower bound for fractal Hausdorff-Besicovitch dimension is obtained. It calculated the dimension of Hausdorff-Besicovitch sets of solutions vis(x)=x (s>2).