Факультет комп'ютерних наук, фізики та математики
Permanent URI for this collectionhttps://ekhsuir.kspu.edu/handle/123456789/529
Browse
5 results
Search Results
Item ФОРМУВАННЯ ПОНЯТТЯ ПЛОСКОГО РОЗМІЩЕННЯ ТОЧОК ЗАСОБАМИ МЕТРИЧНОЇ ГЕОМЕТРІЇ ПРИ ВИВЧЕННІ МЕТРИЧНИХ ПРОСТОРІВ(2023) Кузьмич, В.; Валько, К.; Кузьмич, Л.; Савченко, О.; Kuz’mich, V; Valko, K; Kuzmich, L; Savchenko, OПостановка проблеми. При вивченні метричних просторів у здобувачів вищої освіти часто виникають труднощі з розумінням основних понять та властивостей цих просторів. Це, у значній мірі, є наслідком формалізації цих понять з одного боку, та збереження відповідних формулювань та назв, звичних для здобувачів зі шкільного курсу математики. Найпростіші поняття взаємного розміщення точок метричного простору, наприклад, прямолінійність їх розміщення, у різних просторах можуть набувати різних властивостей. Інколи ці властивості ніяким чином не узгоджуються з відповідними властивостями у звичних для здобувачів евклідових просторах. Для подолання вказаних труднощів доцільно використовувати методи геометричної інтерпретації та візуалізації цих властивостей. Доцільним, при цьому, є використання елементів метричної геометрії. Її методи дозволяють інтерпретувати геометричні особливості взаємного розміщення точок метричного простору у звичних для здобувачів вищої освіти декартових (прямокутних) системах координат. У роботі наведено приклади візуалізації властивості плоского розміщення чотирьох точок неевклідового метричного простору у прямокутній тривимірній системі координат. Матеріали та методи. Результати роботи отримані на підставі аналізу діючих підручників з вищої математики для закладів вищої освіти, наукових публікацій та апробовані при читанні відповідного спецкурсу студентам спеціальності «014.04 Середня освіта (математика)» магістерського рівня вищої освіти. Для отримання зображень використовувалось динамічне геометричне середовище GeoGebra 3D. Результати. На основі означення кута як упорядкованої трійки точок довільного метричного простору, та кутової характеристики цього кута, встановлено факт плоского розміщення чотирьох точок неевклідового метричного простору, та наведено приклади цифрової візуалізації цього розміщення за допомогою динамічного геометричного середовища GeoGebra 3D. Така візуалізація дає можливість знайомити здобувачів вищої освіти з найпростішими особливостями неевклідових геометрій. Висновки. Аналітичний апарат метричної геометрії дає можливість сформувати узагальнене поняття плоского розміщення точок довільного метричного простору. Використання цифрових технологій, зокрема графічних редакторів, дозволяє зробити візуалізацію окремих особливостей взаємного розміщення точок довільного метричного простору. Використання достатньо простих аналітичних перетворень при побудові поняття плоского розміщення точок робить можливим знайомство здобувачів загальної середньої освіти, які навчаються у профільних класах з поглибленим вивченням математики, з основами неевклідових геометрій. Formulation of the problem. When studying metric spaces, higher education students often need help understanding these spaces' basic concepts and properties. It, to a large extent, is a consequence of the significant formalization of such concepts on the one hand and the preservation of the corresponding formulations and names familiar to students from a school mathematics course. The most straightforward concepts of mutual placement of points of metric space, for example, the rectilinearity of their arrangement, can acquire different properties in different spaces. Sometimes, these properties do not agree with the corresponding properties in Euclidean spaces. It is advisable to use geometric interpretation and visualization methods of these properties to overcome these difficulties. At the same time, it is appropriate to use elements of metric geometry. Its methods make it possible to interpret the geometric features of the mutual placement of points of metric space in Cartesian (rectangular) coordinate systems known to students. Moreover, it becomes possible to visualize these features with the help of graphic editors since they, as a rule, use numerical values of the coordinates of points to visualize them. The paper gives examples of visualization of the property of the flat arrangement of four points of non-Euclidean metric space in a rectangular three-dimensional coordinate system. Materials and methods. The results of the work were obtained by analyzing existing higher mathematics textbooks for higher education institutions and scientific publications. They were tested while reading the corresponding special course for students of the specialty "014.04 Secondary education (mathematics)" of the master's level of higher education. The dynamic geometric environment GeoGebra 3D was used to obtain images. Results. Based on the definition of an angle as an ordered trio of points of an arbitrary metric space and the angular characteristic of this angle, the fact of the flat arrangement of four points of a non-Euclidean metric space is established, with using the dynamic geometric environment GeoGebra 3D examples of digital visualization of this arrangement are given. Such a visualization makes it possible to familiarize students with higher education with the most straightforward features of non-Euclidean geometries. Conclusions. The analytical apparatus of metric geometry makes it possible to form a generalized concept of a flat arrangement of points in an arbitrary metric space. Digital technologies, particularly graphic editors, make it possible to visualize individual features of the mutual placement of points in an arbitrary metric space. The use of relatively simple analytical transformations when constructing the concept of a flat arrangement of points makes it possible for general secondary education students who study in special classes with in-depth study of mathematics to know themselves with the basics of non-Euclidean geometries.Item ФОРМУВАННЯ ПОНЯТТЯ ПЛОСКОГО РОЗМІЩЕННЯ ТОЧОК У ПРОСТОРІ, З ВИКОРИСТАННЯМ ЕЛЕМЕНТІВ МЕТРИЧНОЇ ГЕОМЕТРІЇ(2023) Кузьмич, В.; Валько, К.; Кузьмич, Л.; Савченко, О.У статті розглядаються методи та засоби формування поняття плоского розміщення точок простору у здобувачів загальної середньої освіти, які навчаються у профільних класах з поглибленим вивченням математики. Наводяться основні поняття метричної геометрії, означення прямолінійного та плоского розміщення точок метричного простору, поняття кута, як упорядкованої трійки точок цього простору, кутової характеристики кута. Розглянуто приклади прямолінійного та плоского розміщення точок окремих метричних просторів.Item Formation of the concept of angle by means of metric geometry on geometric material of 9th grade(2021) Kuz‘mich, V.; Kuzmich, L.; Savchenko, A.; Кузьмич, В. І.; Кузьмич, Л. В.; Савченко, О. Г.Item ФОРМУВАННЯ ПОНЯТТЯ КУТА У ШКІЛЬНОМУ КУРСІ МАТЕМАТИКИ ЗАСОБАМИ МЕТРИЧНОЇ ГЕОМЕТРІЇ(2020) Кузьмич, В. І.; Кузьмич, Л. В.; Kuz’mich, V. I.; Kuzmich, L. V.У шкільному курсі математики кут систематично розпочинають вивчати з п’ятого класу. Це поняття, як не дивно, до цього часу не має сталого означення, чи хоча б опису. Навіть у вищій математиці воно трактується по-різному, не говорячи вже про шкільні підручники. Кут сприймають і як лінію, і як частину площини, а інколи ототожнюють кут із його числовою характеристикою. Таке сприйняття кута, на нашу думку, спричинене широким його застосуванням у різноманітних галузях науки і техніки. У даній роботі пропонується означення кута як упорядкованої трійки точок. Таке означення, на нашу думку, є логічним доповненням існуючих означень кута. Крім того, такий підхід до поняття кута дає можливість використати елементи метричної геометрії для вивчення його властивостей, а також використати кут для означення поняття прямолінійного розміщення точок. Застосування основних понять метричної геометрії до вивчення властивостей кута уможливлює ознайомлення учнів з елементами неевклідових геометрій, яке, на даний момент, повністю відсутнє у шкільних підручниках з геометрії, включно з підручниками для класів з поглибленим вивченням математики. Введення узагальненого поняття кута у шкільний курс геометрії, на наш погляд, слід розпочинати з демонстрації прикладів, що вказують на відносність основних геометричних понять – точка, прямолінійність, відстань, кут. Такі приклади підготують учнів до адекватного сприйняття у подальшому основних понять і співвідношень неевклідових геометрій. Використання для цього метричної геометрії позбавляє необхідності розглядати значну кількість аксіом, оскільки при цьому використовуються лише три аксіоми відстані, які інтуїтивно зрозумілі учням. У роботі наведено ряд прикладів, які можуть розглядатися на уроках у класах із поглибленим вивченням математики, а також у позаурочний час на заняттях математичного гуртка або ж на факультативах із математики. In the school mathematics course, the corner is systematically studied from the fifth grade. Surprisingly, this concept still has no fixed definition, or at least no description. Even in higher mathematics, it is interpreted differently, not to mention school textbooks. The angle is perceived both as a line and as part of a plane, and sometimes the angle is identified with its numerical characteristic. This perception of the angle, in our opinion, is due to its widespread use in various fields of science and technology. This paper proposes the definition of an angle as an ordered triple of points. This definition, in our opinion, is a logical addition to the existing definitions of angle. In addition, this approach to the concept of angle makes it possible to use elements of metric geometry to study its properties, as well as to use the angle to define the concept of rectilinear placement of points. The application of the basic concepts of metric geometry to the study of the properties of angle makes it possible to acquaint pupils with the elements of non-Euclidean geometry, which is currently completely absent in school textbooks on geometry, including textbooks for classes with depth study of mathematics. The introduction of the generalized concept of angle in the school course of geometry, in our opinion, should begin with a demonstration of examples that indicate the relativity of basic geometric concepts - point, straightness, distance, angle. Such examples will prepare students for the adequate perception in the future of the basic concepts and relations of non-Euclidean geometries. The use of metric geometry for this eliminates the need to consider a significant number of axioms, because it uses only three axioms of distance, which are intuitive to students. The paper presents a number of examples that can be considered in lessons in classes with advanced study of mathematics, as well as in extracurricular activities in mathematics classes, or in electives in mathematics.Item МОДЕЛЮВАННЯ ПРЯМОЛІНІЙНОГО ТА ПЛОСКОГО РОЗМІЩЕННЯ ТОЧОК МЕТРИЧНОГО ПРОСТОРУ(2020) Кузьмич, В. І.; Кузьмич, Л. В.; Савченко, О. Г.; Кузьмич, В. И.; Савченко, А. Г.; Kuz’mich, V. I.; Kuz’mich, L.V.; Savchenko, O. G.У роботі розглядаються питання геометричної структуризації множин точок довільного метричного простору. Запропоновані методи побудови прямолінійно і плоско розміщених множин точок метричного простору. Такі множини є узагальненням понять, відповідно, прямої лінії і площини у класичній геометрії Евкліда. Побудова таких множин точок дає можливість моделювати різні геометричні образи у метричних просторах. Поняття прямолінійного розміщення точок базується на класичному понятті «лежати між», що широко використовується у сучасних геометричних системах. У роботі використовуються поняття кута, утвореного трьома точками метричного простору, та поняття кутової характеристики цього кута. Ці поняття є базовими для визначення плоского розміщення точок метричного простору. Крім того, факт прямолінійного розміщення точок можна отримати, також, з використанням понять кута та його кутової характеристики. Для встановлення факту плоского розміщення точок метричного простору використовується формула Юнгіуса обчислення об’єму тетраедра через довжину його бічних ребер. Умова рівності нулю цього об’єму є ознакою плоского розміщення чотирьох вершин тетраедра. У роботі використовується модифікована формула Юнгіуса, в якій об’єм тетраедра обчислюється через довжини трьох його ребер, що виходять з однієї вершини, та косинуси плоских кутів при цій вершині. Оскільки такі обчислення досить трудомісткі, то в роботі пропонується проводити їх із використанням програмного засобу «Калькулятор». За допомогою цього калькулятора можна встановити: чи існує тетраедр із заданими ребрами, і якщо так, то обчислити об’єм такого тетраедра. У роботі наведені приклади прямолінійно та плоско розміщених множин точок у різних класичних метричних просторах. Зокрема, розглянуті приклади таких множин у просторі неперервних на відрізку функцій та у просторі інтегрованих за Ріманом на відрізку функцій. Деякі приклади вказують на «неевклідовість» понять прямолінійного та плоского розміщення точок. Це дає змогу моделювати у метричних просторах основні поняття та властивості неевклідових геометрій. В работе рассматриваются вопросы геометрической структуризации множеств точек произвольного метрического пространства. Предложены методы построения прямолинейно и плоско расположенных множеств точек метрического пространства. Такие множества являются обобщением понятий, соответственно, прямой линии и плоскости в классической геометрии Евклида. Построение таких множеств точек дает возможность моделировать различные геометрические образы в метрических пространствах. Понятие прямолинейного размещения точек базируется на классическом понятии «лежать между», которое широко используется в современных геометрических системах. В работе используются понятие угла, образованного тремя точками метрической пространства, и понятие угловой характеристики этого угла. Эти понятия являются базовыми для определения плоского размещения точек метрического пространства. Кроме того, факт прямолинейного размещения точек можно получить, также, с использованием понятий угла и его угловой характеристики. Для установления факта плоского размещения точек метрического пространства используется формула Юнгиуса вычисления объема тетраэдра через длину его боковых ребер. Условие равенства нулю этого объема является признаком плоского размещения четырех вершин тетраэдра. В работе используется модифицированная формула Юнгиуса, в которой объем тетраэдра вычисляется через длины трех его ребер, выходящих из одной вершины, и косинусы плоских углов при этой вершине. Поскольку такие вычисления достаточно трудоемки, то в работе предлагается проводить их с использованием программного средства «Калькулятор». С помощью этого калькулятора можно установить: существует ли тетраэдр с заданными ребрами, и если да, то вычислить объем такого тетраэдра. В работе приведены примеры прямолинейно и плоско размещенных множеств точек в разных классических метрических пространствах. В частности, рассмотрены примеры таких множеств в пространстве непрерывных на отрезке функций и в пространстве интегрированных по Риману на отрезке функций. Некоторые примеры указывают на «неевклидовисть» понятий прямолинейного и плоского размещения точек. Это позволяет моделировать в метрических пространствах основные понятия и свойства неевклидовых геометрий. The paper deals with the issues of geometric structuring of sets of points of an arbitrary metric space. Methods for constructing rectilinear and flat sets of points of metric space are proposed. Such sets are a generalization of the concepts, respectively, of a straight line and a plane in the classical geometry Euclid. The construction of such sets of points makes it possible to model various geometric images in metric spaces. The concept of rectilinear placement of points is based on the classical concept of 'lie between', which is widely used in modern geometric systems. The work uses the concept of an angle formed by three points of the metric space, and the concept of the angular characteristic of this angle. These concepts are basic for the definition of a flat placement of points in a metric space. In addition, the fact of the rectilinear placement of points can also be obtained using the concepts of angle and its angular characteristic. For establish the fact that the points of the metric space are flat placement, the Jungius formula is used to calculate the volume of a tetrahedron in terms of the length of its lateral edges. The condition for this volume to be zero is a sign of the flat placement of the four vertices of the tetrahedron. The paper uses a modified Jungius formula, in which the volume of a tetrahedron is calculated in terms of the lengths of its three edges emerging from one vertex and the cosines of plane angles at this vertex. Since such calculations are rather laborious, it is proposed to carry out them using the 'Calculator' software tool. With the help of this calculator, you can determine whether there is a tetrahedron with given edges, and if so, calculate the volume of such a tetrahedron. The paper gives examples of rectilinear and flat placement sets of points in different classical metric spaces. In particular, examples of such sets are considered in the space of continuous functions on an segment and in the space of Riemann-integrated functions on an segment. Some examples point to the 'non-Euclidean' concepts of rectilinear and flat placement of points. This allows modeling the basic concepts and properties of non-Euclidean geometries in metric spaces.