Факультет комп'ютерних наук, фізики та математики
Permanent URI for this collectionhttps://ekhsuir.kspu.edu/handle/123456789/529
Browse
6 results
Search Results
Item ФОРМУВАННЯ ПОНЯТТЯ ПЛОСКОГО РОЗМІЩЕННЯ ТОЧОК ЗАСОБАМИ МЕТРИЧНОЇ ГЕОМЕТРІЇ ПРИ ВИВЧЕННІ МЕТРИЧНИХ ПРОСТОРІВ(2023) Кузьмич, В.; Валько, К.; Кузьмич, Л.; Савченко, О.; Kuz’mich, V; Valko, K; Kuzmich, L; Savchenko, OПостановка проблеми. При вивченні метричних просторів у здобувачів вищої освіти часто виникають труднощі з розумінням основних понять та властивостей цих просторів. Це, у значній мірі, є наслідком формалізації цих понять з одного боку, та збереження відповідних формулювань та назв, звичних для здобувачів зі шкільного курсу математики. Найпростіші поняття взаємного розміщення точок метричного простору, наприклад, прямолінійність їх розміщення, у різних просторах можуть набувати різних властивостей. Інколи ці властивості ніяким чином не узгоджуються з відповідними властивостями у звичних для здобувачів евклідових просторах. Для подолання вказаних труднощів доцільно використовувати методи геометричної інтерпретації та візуалізації цих властивостей. Доцільним, при цьому, є використання елементів метричної геометрії. Її методи дозволяють інтерпретувати геометричні особливості взаємного розміщення точок метричного простору у звичних для здобувачів вищої освіти декартових (прямокутних) системах координат. У роботі наведено приклади візуалізації властивості плоского розміщення чотирьох точок неевклідового метричного простору у прямокутній тривимірній системі координат. Матеріали та методи. Результати роботи отримані на підставі аналізу діючих підручників з вищої математики для закладів вищої освіти, наукових публікацій та апробовані при читанні відповідного спецкурсу студентам спеціальності «014.04 Середня освіта (математика)» магістерського рівня вищої освіти. Для отримання зображень використовувалось динамічне геометричне середовище GeoGebra 3D. Результати. На основі означення кута як упорядкованої трійки точок довільного метричного простору, та кутової характеристики цього кута, встановлено факт плоского розміщення чотирьох точок неевклідового метричного простору, та наведено приклади цифрової візуалізації цього розміщення за допомогою динамічного геометричного середовища GeoGebra 3D. Така візуалізація дає можливість знайомити здобувачів вищої освіти з найпростішими особливостями неевклідових геометрій. Висновки. Аналітичний апарат метричної геометрії дає можливість сформувати узагальнене поняття плоского розміщення точок довільного метричного простору. Використання цифрових технологій, зокрема графічних редакторів, дозволяє зробити візуалізацію окремих особливостей взаємного розміщення точок довільного метричного простору. Використання достатньо простих аналітичних перетворень при побудові поняття плоского розміщення точок робить можливим знайомство здобувачів загальної середньої освіти, які навчаються у профільних класах з поглибленим вивченням математики, з основами неевклідових геометрій. Formulation of the problem. When studying metric spaces, higher education students often need help understanding these spaces' basic concepts and properties. It, to a large extent, is a consequence of the significant formalization of such concepts on the one hand and the preservation of the corresponding formulations and names familiar to students from a school mathematics course. The most straightforward concepts of mutual placement of points of metric space, for example, the rectilinearity of their arrangement, can acquire different properties in different spaces. Sometimes, these properties do not agree with the corresponding properties in Euclidean spaces. It is advisable to use geometric interpretation and visualization methods of these properties to overcome these difficulties. At the same time, it is appropriate to use elements of metric geometry. Its methods make it possible to interpret the geometric features of the mutual placement of points of metric space in Cartesian (rectangular) coordinate systems known to students. Moreover, it becomes possible to visualize these features with the help of graphic editors since they, as a rule, use numerical values of the coordinates of points to visualize them. The paper gives examples of visualization of the property of the flat arrangement of four points of non-Euclidean metric space in a rectangular three-dimensional coordinate system. Materials and methods. The results of the work were obtained by analyzing existing higher mathematics textbooks for higher education institutions and scientific publications. They were tested while reading the corresponding special course for students of the specialty "014.04 Secondary education (mathematics)" of the master's level of higher education. The dynamic geometric environment GeoGebra 3D was used to obtain images. Results. Based on the definition of an angle as an ordered trio of points of an arbitrary metric space and the angular characteristic of this angle, the fact of the flat arrangement of four points of a non-Euclidean metric space is established, with using the dynamic geometric environment GeoGebra 3D examples of digital visualization of this arrangement are given. Such a visualization makes it possible to familiarize students with higher education with the most straightforward features of non-Euclidean geometries. Conclusions. The analytical apparatus of metric geometry makes it possible to form a generalized concept of a flat arrangement of points in an arbitrary metric space. Digital technologies, particularly graphic editors, make it possible to visualize individual features of the mutual placement of points in an arbitrary metric space. The use of relatively simple analytical transformations when constructing the concept of a flat arrangement of points makes it possible for general secondary education students who study in special classes with in-depth study of mathematics to know themselves with the basics of non-Euclidean geometries.Item ФОРМУВАННЯ ПОНЯТТЯ ПЛОСКОГО РОЗМІЩЕННЯ ТОЧОК У ПРОСТОРІ, З ВИКОРИСТАННЯМ ЕЛЕМЕНТІВ МЕТРИЧНОЇ ГЕОМЕТРІЇ(2023) Кузьмич, В.; Валько, К.; Кузьмич, Л.; Савченко, О.У статті розглядаються методи та засоби формування поняття плоского розміщення точок простору у здобувачів загальної середньої освіти, які навчаються у профільних класах з поглибленим вивченням математики. Наводяться основні поняття метричної геометрії, означення прямолінійного та плоского розміщення точок метричного простору, поняття кута, як упорядкованої трійки точок цього простору, кутової характеристики кута. Розглянуто приклади прямолінійного та плоского розміщення точок окремих метричних просторів.Item ЕЛЕМЕНТИ ГРАФІЧНОЇ ІНТЕРПРЕТАЦІЇ ПІД ЧАС ВИВЧЕННЯ СТУДЕНТАМИ МЕТРИЧНИХ ПРОСТОРІВ(2023) Кузьмич, В. І.; Валько, К. В.; Кузьмич, Л. В.; Савченко, О. Г.У статті акцентується, що під час вивчення теорії метричних просторів здобувачами вищої освіти фізико-математичних та інженерних спеціальностей виникають труднощі з розумінням основних співвідношень між окремими точками та множинами точок конкретного метричного простору. Звертається увага на те, що труднощі в засвоєнні студентами відповідного матеріалу значною мірою пов’язані з фактичною відсутністю геометричної інтерпретації цих понять у різних метричних просторах. Для полегшення засвоєння основних понять цієї теорії у статті пропонується використовувати геометричну інтерпретацію та цифрову візуалізацію властивостей взаємного розміщення точок метричного простору. Констатується, що геометричні властивості метричних просторів доцільно демонструвати студентам на прикладах евклідових просторів першого, другого та третього порядків. Наголошується, що властивості взаємного розміщення точок простору можуть значно змінюватись зі зміною його метрики, що пояснюється зміною внутрішньої геометрії простору. У статті наведено приклади такої зміни. Розглядаються приклади геометричної інтерпретації окремих понять метричного простору залежно від зміни метрики цього простору. Геометрична інтерпретація, звичайно, зводиться до порівняння цих понять із відповідними їх інтерпретаціями в евклідових просторах першого, другого та третього порядків. Це дає можливість наочно побачити зміну внутрішньої геометрії метричного простору в разі, коли його метрика не є метрикою евклідового простору. Така інтерпретація демонструє відмінності між евклідовою та неевклідовими геометріями, що покращить їх розуміння студентами. Матеріал статті побудовано на прикладах простих метричних просторів, для розуміння яких достатньо змісту шкільного курсу математики. Тому цей матеріал можна використати під час викладання математики в закладах загальної середньої освіти.Item Formation of the concept of angle by means of metric geometry on geometric material of 9th grade(2021) Kuz‘mich, V.; Kuzmich, L.; Savchenko, A.; Кузьмич, В. І.; Кузьмич, Л. В.; Савченко, О. Г.Item ФОРМУВАННЯ ПОНЯТТЯ КУТА У ШКІЛЬНОМУ КУРСІ МАТЕМАТИКИ ЗАСОБАМИ МЕТРИЧНОЇ ГЕОМЕТРІЇ(2020) Кузьмич, В. І.; Кузьмич, Л. В.; Kuz’mich, V. I.; Kuzmich, L. V.У шкільному курсі математики кут систематично розпочинають вивчати з п’ятого класу. Це поняття, як не дивно, до цього часу не має сталого означення, чи хоча б опису. Навіть у вищій математиці воно трактується по-різному, не говорячи вже про шкільні підручники. Кут сприймають і як лінію, і як частину площини, а інколи ототожнюють кут із його числовою характеристикою. Таке сприйняття кута, на нашу думку, спричинене широким його застосуванням у різноманітних галузях науки і техніки. У даній роботі пропонується означення кута як упорядкованої трійки точок. Таке означення, на нашу думку, є логічним доповненням існуючих означень кута. Крім того, такий підхід до поняття кута дає можливість використати елементи метричної геометрії для вивчення його властивостей, а також використати кут для означення поняття прямолінійного розміщення точок. Застосування основних понять метричної геометрії до вивчення властивостей кута уможливлює ознайомлення учнів з елементами неевклідових геометрій, яке, на даний момент, повністю відсутнє у шкільних підручниках з геометрії, включно з підручниками для класів з поглибленим вивченням математики. Введення узагальненого поняття кута у шкільний курс геометрії, на наш погляд, слід розпочинати з демонстрації прикладів, що вказують на відносність основних геометричних понять – точка, прямолінійність, відстань, кут. Такі приклади підготують учнів до адекватного сприйняття у подальшому основних понять і співвідношень неевклідових геометрій. Використання для цього метричної геометрії позбавляє необхідності розглядати значну кількість аксіом, оскільки при цьому використовуються лише три аксіоми відстані, які інтуїтивно зрозумілі учням. У роботі наведено ряд прикладів, які можуть розглядатися на уроках у класах із поглибленим вивченням математики, а також у позаурочний час на заняттях математичного гуртка або ж на факультативах із математики. In the school mathematics course, the corner is systematically studied from the fifth grade. Surprisingly, this concept still has no fixed definition, or at least no description. Even in higher mathematics, it is interpreted differently, not to mention school textbooks. The angle is perceived both as a line and as part of a plane, and sometimes the angle is identified with its numerical characteristic. This perception of the angle, in our opinion, is due to its widespread use in various fields of science and technology. This paper proposes the definition of an angle as an ordered triple of points. This definition, in our opinion, is a logical addition to the existing definitions of angle. In addition, this approach to the concept of angle makes it possible to use elements of metric geometry to study its properties, as well as to use the angle to define the concept of rectilinear placement of points. The application of the basic concepts of metric geometry to the study of the properties of angle makes it possible to acquaint pupils with the elements of non-Euclidean geometry, which is currently completely absent in school textbooks on geometry, including textbooks for classes with depth study of mathematics. The introduction of the generalized concept of angle in the school course of geometry, in our opinion, should begin with a demonstration of examples that indicate the relativity of basic geometric concepts - point, straightness, distance, angle. Such examples will prepare students for the adequate perception in the future of the basic concepts and relations of non-Euclidean geometries. The use of metric geometry for this eliminates the need to consider a significant number of axioms, because it uses only three axioms of distance, which are intuitive to students. The paper presents a number of examples that can be considered in lessons in classes with advanced study of mathematics, as well as in extracurricular activities in mathematics classes, or in electives in mathematics.Item ФОРМУВАННЯ В ШКОЛЯРІВ ПОНЯТЬ ВІДСТАНІ ТА ПРЯМОЛІНІЙНОСТІ ЗАСОБАМИ МЕТРИЧНОЇ ГЕОМЕТРІЇ(2019) Кузьмич, В. І.; Kuz’mich, V. I.У статті розглядаються питання поступового включення в навчальний матеріал шкільного курсу геометрії елементів метричної геометрії. Ці питання стосуються шкільної програми поглибленого вивчення математики. Такий підхід можливо використати вже в сьомому класі, оскільки відповідно до програми саме в цьому класі розпочинається систематичне вивчення основних геометричних понять та співвідношень між ними. Крім того, програма з алгебри в цьому класі передбачає вивчення графіків функцій, зокрема графіка лінійної функції, що дозволяє наочно продемонструвати окремі елементи метричної геометрії. З більшістю матеріалу, що пропонується для вивчення, доцільно знайомити учнів у позаурочний час, оскільки він має значну ступінь формалізації й для оволодіння ним потрібно розвинути у учнів уміння неформального сприйняття основних геометричних понять. Метою уведення у вивчення елементів метричної геометрії є поступова підготовка учнів до адекватного сприйняття основних положень неевклідових геометрій, зокрема геометрії М. І. Лобачевського. Про геометрію М. І. Лобачевського шкільні підручники з геометрії згадують лише в історичному аспекті, формулюючи п’ятий постулат Евкліда та вказуючи на заміну його М. І. Лобачевським протилежним твердженням. З одного боку, це призводить до нерозуміння суті неевклідової геометрії, а з іншого боку, такий підхід є вимушеним і зумовлений значною кількістю часу, необхідною для викладення основних положень неевклідової геометрії, які важко сприймаються при інтуїтивному розумінні основних геометричних понять. У статті пропонується знайомити учнів з окремими елементами неевклідової геометрії, без використання складних аналітичних та геометричних конструкцій, на основі поняття відстані між двома точками, що використовується при означенні метричного простору. The article deals with the questions of gradual inclusion in the educational material of the school course on the geometry of elements of metric geometry. These questions relate to the school curriculum for in-depth study of mathematics. Such an approach can be used already in the seventh class, because, according to the program, it is in this class that a systematic study of the basic geometric concepts and relationships between them begins. It is advisable to familiarize students with the majority of the material offered for study, because it has a significant degree of formalization, and for mastering it is necessary to develop the students’ ability to informally perceive the basic geometric concepts. The purpose of introducing into the study of elements of metric geometry is the gradual preparation of students for an adequate perception of the basic provisions of non-Euclidean geometries, in particular the geometry of M. I. Lobachevsky. On the geometry of M. I. Lobachevsky, school textbooks on geometry are mentioned only in the historical aspect, formulating the fifth Euclidean postulate, and pointing to the replacement of it by M. I. Lobachevsky’s opposite statement. On the one hand, this leads to a misunderstanding of the essence of non-Euclidean geometry, and on the other hand, such an approach is forced and due to the considerable amount of time necessary to elaborate the basic provisions of non-Euclidean geometry that are difficult to perceive under the intuitive understanding of basic geometric concepts. The article proposes to introduce students to separate elements of non-Euclidean geometry, without the use of complex analytical and geometric constructions, on the basis of the concept of distance between two points, used in the definition of metric space.