Кафедра алгебри, геометрії та математичного аналізу

Permanent URI for this communityhttps://ekhsuir.kspu.edu/handle/123456789/10332

Browse

Now showing 1 - 20 of 61

Деякі різноманітні методи розв’язання функціональних рівнянь
(2020) Потапова, А. І.
Робота присвячена основним методам розв'язання функціональних рівнянь, які пов'язані як з методами математичного аналізу, так і з застосуванням алгебричного апарату. Зокрема, в роботі наведеноалгоритми та приклади застосування матриць та дробово-лінійних виразів, а також деяких положень з теорії груп до відшкодування до розв'язків функціональних рівнянь. Крім того, в роботі в ньому розкрито питання застосування граничного переходу, диференційованого та так званого методу Коші для відшкодування розв'язків функціональних рівнянь. The work is devoted to the basic methods of solving functional equations, which are connected both with the methods of mathematical analysis and with the use of algebraic apparatus. In particular, the paper presents algorithms and examples of the use of matrices and fractional-linear expressions, as well as some provisions from group theory to compensation for solutions of functional equations. In addition, the paper deals with the application of the boundary transition, differentiated and the so-called Cauchy method to compensate for solutions of functional equations.
Послідовності Штерна-Броко та Фарея
(2020) Гриндій, І. Л.
В роботі досліджено властивості послідовностей Штерна-Броко та Фарея, їх взаємозв’язки з числами Фібоначчі, двосимвольним кодуванням чисел, ланцюговими дробами, функцією Мінковського та теорією наближень дійсних чисел раціональними. Знайдено рекурентну та загальну формули для підрахунку кількості дробів п-ої послідовності Штерна-Броко. Доведено ряд властивостей. Знайдено рекурентну та загальну формули для обчислення суми чисельників дробів дерева Штерна-Броко, отриманих на n-му кроці побудови та формулу зв’язку дробів дерева Штерна-Броко з класичною послідовністю Фібоначчі. The properties of Stern-Broco and Farray sequences, their interrelations with Fibonacci numbers, two-character coding of numbers, chain fractions, Minkowski function and the theory of approximations of real numbers by rational ones are investigated. Recurrent and general formulas for counting the number of fractions of the nth Stern-Broco sequence are found. A number of properties are proved. The recurrent and general formulas for calculating the sum of the numerators of the Stern-Broco tree fractions obtained in the nth step of construction and the formula for connecting the Stern-Broco tree fractions with the classical Fibonacci sequence are found.
Тригонометричні ряди, їх збіжність та підсумовуваність матричними методами
(2020) Кошеварова, А. О.
Актуальність роботи не викликає сумнівів з огляду на те, ряди широко використовуються в математиці, особливо при дослідженні різноманітних технічних проблем пов’язаних з наближеним інтегруванням диференціальних рівнянь, обчисленням значень функцій та інтегралів, розв’язуванням трансцендентних та алгебраїчних рівнянь. У роботі розглянуті основні методи дослідження матричних методів підсумовування рядів, опису їх властивостей та співвідношення між цими методами, зокрема, огляд та систематизація результатів з підсумовування рядів Фур’є класичними методами. Qualification work is devoted to trigonometric series, their convergence and summation by matrix methods. The relevance of the work is not in doubt, given that the series are widely used in mathematics, especially in the study of various technical problems associated with the approximate integration of differential equations, calculation of values of functions and integrals, solving transcendental and algebraic equations. The main methods of research of matrix methods of summation of series, description of their properties and relations between these methods are considered in the work, in particular, review and systematization of results on summation of Fourier series by classical methods.
Метод найменших модулів
(2020) Шершень, Д. А.
Метод найменших модулів - один з методів регресійного аналізу, він використовується для оцінки невідомих величин за результатами вимірів, що містять випадкові помилки. Метод найменших модулів застосовується для подання заданої функції іншими (простішими) функціями і часто використовується при обробці спостережень. Актуальність проблеми вивчення методу найменших модулів, в повній мірі розкриває себе у задачах математичного моделювання, де вхідними даними виступають дискретні точкові множини. Метою дослідження є розгляд суті методу найменших модулів та алгоритм отримання оцінок за даним методом. The method of the smallest modules is one of the methods of regression analysis, it is used to estimate unknown values based on the results of measurements that contain random errors. The method of the smallest modules is used to represent a given function by other (simpler) functions and is often used in the processing of observations. The urgency of the problem of studying the method of the smallest modules, fully reveals itself in the problems of mathematical modeling, where the input data are discrete point sets. The purpose of the study is to consider the essence of the method of the smallest modules and the algorithm for obtaining estimates by this method.
Методика вивченя числових послідовностей в курсі алгебри
(2020) Биков, М. В.
Методика вивчення числових послідовностей в курсі алгебри, а саме вивчення арифметичної та геометричної прогресії. В структурі роботи виділено три основні розділи. Перший розділ присвячено теоретичним основам проблеми дослідження. В другому розділі розглянуто основні теоретичні положення, що стосуються арифметичної та геометричної прогресії, та методичні особливості введення теми в курсі алгебри. В третьому розділі описано етапи організації та проведення педагогічного експерименту. Methods of studying numerical sequences in the course of algebra, namely the study of arithmetic and geometric progression. There are three main sections in the structure of the work. The first section is devoted to the theoretical foundations of the research problem. The second section considers the main theoretical provisions relating to arithmetic and geometric progression, and methodological features of the introduction of the topic in the course of algebra. The third section describes the stages of organizing and conducting a pedagogical experiment.
Навчання геометричних величин, їх обчислення та вимірювання в класах математичного профілю
(2020) Сінолуп, О. Ю.
Величина - одне з основних математичних понять. Вивчення в курсі математики профільної школи величин і їх вимірювань має велике значення в плані розвитку школярів. Це обумовлено тим, що через поняття величини описуються реальні властивості предметів і явищ, відбувається пізнання навколишньої дійсності; знайомство з залежностями між величинами допомагає створити у дітей цілісні уявлення про навколишній світ; вивчення процесу вимірювання величин сприяє набуттю практичних умінь і навичок необхідних людині в його повсякденному діяльності. Quantity is one of the basic mathematical concepts. The study in the course of mathematics of the profile school of quantities and their measurements is of great importance in terms of student development. This is due to the fact that the concept of quantity describes the real properties of objects and phenomena, there is knowledge of the surrounding reality; acquaintance with the relationships between quantities helps to create in children a holistic view of the world around them; the study of the process of measuring quantities contributes to the acquisition of practical skills and abilities necessary for a person in his daily activities.
Деякі елементарні методи підсумовування послідовностей
(2020) Поліщук, А. В.
Теорія підсумування послідовностей почала розвиватися в ХVII-XVIII ст.. Досить багато математиків того часу працювали над вирішенням проблеми знаходження суми ряду. Під час дослідження різних науково-методичних аспектів не складно отримати конкретну математичну модель, яка буде розв’язком певної математичної задачі. Також актуальним в наш час є завдання: знайти різні методи розв’язання однієї й тієї ж самої задачі та вибір серед всіх можливих методів найоптимальнішого. Саме таке завдання потрібно виконати під час розвязання задач на підсумовування. Дані задачі зустрічаються в дискретній математиці, математичному аналізі, теорії ймовірності, тощо. Також завдання на знаходження скінченних сум розв’язують на різних математичних олімпіадах. Саме тому дослідження питання підсумовування скінченних послідовностей є дуже актуальним в наш час. Метою роботи є розгляд методів розв’язання задач на підсумовування послідовностей, перевірка та обґрунтування доцільності вибору того чи іншого методу під час розв’язання математичних задач, оцінення переваг різних методів при вирішенні конкретної задачі. The theory of summation of sequences began to develop in the XVII-XVIII centuries. Quite a few mathematicians of that time worked on solving the problem of finding the sum of a series. When studying various scientific and methodological aspects, it is not difficult to obtain a specific mathematical model that will be the solution of a particular mathematical exercise. Also relevant today is the task of finding different methods for solving the same exercise and choosing the best among all possible methods. This is exactly the task you need to perform when solving summation exercises. These exercises are found in discrete mathematics, mathematical analysis, probability theory, and so on. Exercises for finding finite sums are also solved in various mathematical competitions. That is why the study of the summation of finite sequences is very relevant today. The purpose of the work is to consider the methods of solving exercises to summarize the sequences, check and justify the feasibility of choosing a method when solving mathematical exercises, assessing the benefits of different methods in solving a particular exercise.
Методи розв’язування задач та доведення тверджень з використанням векторів
(2020) Алєксандрова, І. В.
В роботі наведено деякі теоретичні положення векторної алгебри, що стосуються властивостей основних операцій над векторами. Зокрема, наведено деякі методи застосування векторів та розглянуто особливості таких методів, як поворот вектора на 90 градусів, метод застосування одиничного вектора, а також можливість застосування скалярного добутку векторівдо доведення алгебраїчних та геометричних нерівностей та знаходження векторних рівнянь множин точок. The paper presents some theoretical provisions of vector algebra concerning the properties of basic operations on vectors. In particular, some methods of application of vectors are given and features of such methods as rotation of a vector by 90 degrees, method of application of a single vector, and also possibility of application of scalar product of vectors to proof of algebraic and geometrical inequalities and finding vector equations of sets of points are considered.
Узагальнення ознак збіжності та абсолютної збіжності рядів
(2020) Степанець, Є. О.
Ряди широко використовуються в математиці, особливо при дослідженні різноманітних технічних проблем, пов’язаних з наближеним інтегруванням диференціальних рівнянь, обчисленням значень функцій та інтегралів, розв’язуванням трансцендентних та алгебраїчних рівнянь. Вони відіграють важливу роль у математиці принаймні з двох причин: є ефективним інструментом математичних досліджень і одним із найважливіших засобів побудови практичних чисельних методів. The series is widely used in mathematics, especially in the study of various technical problems related to the approximate integration of differential equations, the calculation of values of functions and integrals, the solution of transcendental and algebraic equations. They play an important role in mathematics for at least two reasons: they are an effective tool for mathematical research and one of the most important means of constructing practical numerical methods.
Абелеві групи
(2020) Слюсарчук, С. Ф.
Математика включає вивчення математичних структур. В свою чергу математичні структури є множинами з завданими на них відношеннями і операціями. Математичні структури вивчаються в теорії множин, яка є базою класичної математики. Теорія абелевих груп – це розділ загальної алгебри, який вивчає комутативні групи. Теорія абелевих груп є одним з розділів в теорії чисел і має вагоме значення для багатьох математичних тверджень. Актуальність проблеми вивчення абелевих груп зумовлена необхідністю опанування всього курсу математики для студентів математичних спеціальностей. За мету дослідження вивчення абелевих груп і підготовка теоретичного матеріалу для більш глибшого самостійного вивчення студентами. Mathematics involves the study of mathematical structures. In turn, mathematical structures are sets with relations and operations imposed on them. Mathematical structures are studied in set theory, which is the basis of classical mathematics. Abelian group theory is a branch of general algebra that studies commutative groups. The theory of Abelian groups is one of the sections in number theory and is important for many mathematical statements. The urgency of the problem of studying Abelian groups is due to the need to master the entire course of mathematics for students of mathematical specialties. The purpose of the study is to study Abelian groups and prepare theoretical material for deeper independent study by students.
Геометричні образи в метричному просторі
(2020) Ткаченко, І. О.
Метрична геометрія – область геометрії для якої метричний простір є основним об’єктом дослідження. Метрична геометрія вивчає множину точок, опираючись тільки на задані значення відстані між членами пари точок простору. Метрична геометрія використовується у різних галузях науки, в яких визначається та розглядається відстань між об’єктами, наприклад в геодезії, картографії та фізиці. Актуальність проблеми вивчення геометричних образів у метричному просторі також зумовлена реальним станом вивчення основних геометричних понять та фігур учнями середньої та старшої школи. Багато учнів не вміють розв’язувати задачі практичного змісту з геометрії , більше того, окремим учням навіть уявити складно конкретне геометричне тіло. За мету дослідження постало теоретичне обґрунтування методичної системи вивчення геометричних образів у метричному просторі. Metric geometry is the area of geometry for which metric space is the main object of study. Metric geometry studies a set of points, relying only on given values of the distance between the members of a pair of points in space. Metric geometry is used in various fields of science, in which the distance between objects is determined and considered, such as geodesy, cartography and physics. The urgency of the problem of studying geometric images in metric space is also due to the real state of the study of basic geometric concepts and figures by students of secondary and high school. Many students do not know how to solve practical problems in geometry, moreover, some students even find it difficult to imagine a specific geometric body. The aim of the research was a theoretical substantiation of the methodical system of studying geometric images in metric space.
Застосування перетворень евклідової площини до розв’язування задач
(2020) Кириленко, А. Л.
В ряді навчальних дисциплін, що складають в сукупності шкільний курс математики (алгебра та початки аналізу, геометрія, тригонометрія), геометрія грає особливо важливу роль. Ця роль визначається і відносною складністю геометрії у порівнянні з іншими предметами математичного циклу. Геометрія повинна також знайомити учнів з деякими загальними ідеями, які можуть наблизити їх до розуміння найбільш важливих питань сучасної науки. Однією з таких ідей є ідея перетворення. Ідея перетворень є однією з провідних у сучасній математичній науці і в різних галузях її застосувань. Вона тісно пов‘язана з ідеями відображень, які широко використовуються в практиці (архітектура, геодезія тощо) та функцій, оскільки функціональна залежність встановлює співвідношення між числовими значеннями величин, а геометричні перетворення дозволяють знайти зв‘язок між різними геометричними фігурами. Перетворення площини та метод подібності широко використовуються в курсі планіметрії при введенні нових понять, доведень теорем, розв‘язуванні задач на побудову тощо. Серед перетворень особливе місце займають центральна та осьова симетрії. За допомогою центральної симетрії вивчається теорія паралельних, а за допомогою осьової симетрії вводиться поняття перпендикулярності прямих на площині. Теорія подібності, зокрема, гомотетія, відіграє особливо важливу роль в навчанні учнів розв‘язуванню геометричних задач. Саме цією актуальністю даного питання обумовлено вибір теми роботи та визначений її практичний напрямок. Основна мета дослідження – розкрити питання про можливість застосування перетворень площини до розв’язування різноманітних задач та доведення тверджень. Предметом дослідження виступають перетоврення площини, а об’єктом дослідження – безпосередньо рухи та перетворення подібності площини. In a number of disciplines that together constitute the school course of mathematics (algebra and the beginnings of analysis, geometry, trigonometry), geometry plays a particularly important role. This role is determined by the relative complexity of geometry in comparison with other subjects of the mathematical cycle. Geometry should also introduce students to some general ideas that can bring them closer to understanding the most important issues of modern science. One such idea is the idea of transformation. The idea of transformations is one of the leading in modern mathematical science and in various fields of its applications. It is closely related to the ideas of mappings, which are widely used in practice (architecture, geodesy, etc.) and functions, because the functional relationship establishes the relationship between numerical values, and geometric transformations allow you to find a connection between different geometric shapes. The plane transformation and the method of similarity are widely used in the course of planimetry in the introduction of new concepts, proofs of theorems, solving construction problems, and so on. Among the transformations a special place is occupied by central and axial symmetries. With the help of central symmetry the theory of parallels is studied, and with the help of axial symmetry the concept of perpendicularity of lines on a plane is introduced. Similarity theory, in particular homothety, plays a particularly important role in teaching students to solve geometric problems. It is this relevance of this issue that determines the choice of the topic of the work and determines its practical direction. The main purpose of the study is to reveal the possibility of applying plane transformations to solve various problems and prove statements. The subject of the study is the transformation of the plane, and the object of research is the direct motion and transformation of the similarity of the plane.
Вивчення декартових координат та векторів у класах математичного профілю
(2020) Мунтян, В. В.
Сучасне значення геометричних знань та умінь є неоціненним для великої кількості професій, саме тому однією з проблем сучасної школи є формування геометричної компетентності учнів в процесі навчання математики. Однією із головних особливостей геометричної освіти є розвиток просторових уявлень, так як саме вони відіграють велику роль у взаємодії людини з навколишнім світом.Вивчення координат та векторів є особливо актуальним, саме тому що метод координат є основним методом дослідження властивостей геометричних фігур в аналітичній геометрії. Вивчення координатного та векторного методів значно спрощують виклад теоретичного матеріалу, доведення означень та теорем теми, розв’язання алгебраїчних та геометричних задач. Застосування ці методи знаходять при побутові графік залежностей, вимірах тощо. The modern importance of geometric knowledge and skills is invaluable for many professions, which is why one of the problems of modern school is the formation of geometric competence of students in the process of learning mathematics. One of the main features of geometric education is the development of spatial representations, as they play an important role in human interaction with the world. The study of coordinates and vectors is especially relevant because the coordinate method is the main method of studying the properties of geometric figures in analytical geometry. The study of coordinate and vector methods greatly simplifies the presentation of theoretical material, proof of definitions and theorems of the topic, solving algebraic and geometric problems. These methods are used in plotting dependencies, measurements, and so on.
Тема «нерівності» в шкільному курсі алгебри в контексті підготовки до зовнішнього незалежного оцінювання
(2020) Спасьонова, Т. Ю.
Основним завданням зовнішнього незалежного оцінювання є забезпечення кожному громадянину рівних умов доступу до вищої освіти, оскільки саме результати оцінювання є основними показниками, які дозволяють учням вступати до закладів вищої освіти України. Крім того, тестування дозволяє об’єктивно оцінити рівень знань випускників закладів середньої освіти. Актуальність даної роботи полягає у розробці методичних рекомендацій щодо вивчення нерівностей в закладах середньої поглиблення знань при розв’язуванні нерівностей на зовнішньому незалежному оцінюванні. The main task of external independent assessment is to ensure equal access to higher education for every citizen, as the results of assessment are the main indicators that allow students to enter higher education institutions in Ukraine. In addition, testing allows you to objectively assess the level of knowledge of graduates of secondary education. The relevance of this work is to develop guidelines for the study of inequalities in the institutions of secondary deepening of knowledge in solving inequalities in the external independent evaluation.
ВКЛЮЧЕННЯ ТА РІВНОСИЛЬНІСТЬ МЕТОДІВ ПІДСУМОВУВАННЯ РЯДІВ
(2021) Панова, К. О.
Кваліфікаційна робота присвячена розгляду та систематизації методів підсумовування рядів як інструмента для реалізації різноманітних досліджень для подання широкого класу функцій, здійснення аналітичних перетворень та наближених обчислень таких галузях, як фізика, інформатика, статистика. Розглянуто особливості введення поняття числових рядів та їх підсумовування у шкільному курсі математики, та у подальшому неявного застосування елементів граничного переходу для розв’язання практичних завдань на границі, доведенні формул чи теорем геометрії. Результати кваліфікаційної роботи можуть бути застосовані під час викладання математичних дисциплін у закладах вищої освіти, а також під час індивідуальної підготовки здобувачів загальної середньої освіти до математичних олімпіад та позашкільних конкурсів. The work is devoted to the consideration and systematization of methods of summation of series as a tool for the implementation of various studies to represent a wide range of functions, analytical transformations and approximate calculations in such fields as physics, computer science and statistics. The peculiarities of introducing the concept of numerical series and their summation in the school course of mathematics, and further implicit application of the elements of the boundary transition to solve practical problems at the boundary, proof of formulas or theorems of geometry. The results of the qualification work is possible to use in the teaching of mathematical disciplines in higher education institutions, as well as during the individual preparation of students of general secondary education for mathematical extracurricular competitions.
ФУНКЦІОНАЛЬНА СКЛАДОВА ЗМІСТОВОЇ ЛІНІЇ «РІВНЯННЯ, НЕРІВНОСТІ» У ПРОФІЛЬНОМУ НАВЧАННІ МАТЕМАТИКИ
(2021) Желєз, В. М.
В роботі розкрито питання про важливість застосування функціональної складової при розв’язуванні різних типів рівнянь та нерівностей при підготовці здобувачів середньої освіти профільних закладів The paper reveals the question of the importance of using the functional component in solving different types of equations and inequalities in the preparation of applicants for secondary education in specialized institutions
КОМПЛЕКСНІ ЧИСЛА В ГЕОМЕТРІЇ
(2021) Гайдук, І. І.
Метод комплексних чисел дозволяє розв’язувати планіметричні задачі безпосередньою підстановкою вихідних даних в формули. В роботі розглядається застосування комплексних чисел, зокрема при розв’язуванні тригонометричних задач, задач з елементарної геометрії на площині. The method of complex numbers allows to solve planimetric problems by direct substitution of initial data in formulas. The paper considers the application of complex numbers, in particular in solving trigonometric problems, problems in elementary geometry on a plane.
ВПРОВАДЖЕННЯ ЕЛЕМЕНТІВ STEM- ОСВІТИ У НАВЧАННІ МАТЕМАТИКИ
(2021) Вовчанчина, Т. І.
Вже зараз всіх цікавить зміст і напрямки покращення STEM-освіти, як далі буде розвиватися технологічна сфера в навчальних закладах та в покращенні освіти. Особливості впровадження елементів STEM-освіти в навчання природничо-математичних дисциплін в загальноосвітніх установах цікавлять суспільство, також виділяють можливості застосування вже існуючих STEM-технологій в навчанні математики. Особливості застосування STEM-технології в навчальних закладах на практиці та проаналізувати впровадження елементів STEM-освіти на уроках математики. Already now everyone is interested in the content and directions of improving STEM-education, how the technological sphere will further develop in educational institutions and in improving education. Peculiarities of introduction of elements of STEM-education in teaching of natural and mathematical disciplines in general educational institutions are of interest to the society, also allocate possibilities of application of already existing STEM-technologies in teaching of mathematics. Features of application of STEM-technology in educational institutions in practice and to analyze the introduction of elements of STEM-education in mathematics lessons.
ВИКОРИСТАННЯ ЕЛЕМЕНТІВ МЕТРИЧНОЇ ГЕОМЕТРІЇ ПРИ ФОРМУВАННІ ОСНОВНИХ ГЕОМЕТРИЧНИХ ПОНЯТЬ У ШКІЛЬНОМУ КУРСІ МАТЕМАТИКИ
(2021) Цимбалюк, А. О.
Робота присвячена поступовому включенню в навчальний матеріал шкільного курсу геометрії елементів метричної геометрії. Ці питання стосуються шкільної програми поглибленого вивчення математики. У роботі представлений детальний огляд окремих неевклідових геометрій, окремо розглянуто питання, що стосуються вивчення метричної геометрії, надано основні геометричні поняття, теореми та властивості метричної геометрії, а також розроблено програму факультативного курсу "Метрична гоеметрія для школярів". The work is devoted to the gradual inclusion of Metric Geometry elements in the educational material of the school geometry course. These questions relate to the school curriculum of Advanced Study of mathematics. The paper provides a detailed overview of individual non-Euclidean geometries, separately discusses issues related to the study of Metric Geometry, provides basic geometric concepts, theorems and properties of Metric Geometry, and develops the program of the optional course "Metric goemetry for schoolchildren".
ЕЛЕМЕНТИ ГРАНИЧНОГО ПЕРЕХОДУ У ШКІЛЬНОМУ КУРСІ МАТЕМАТИКИ
(2021) Редько, Л. В.
У теперішній час початки математичного аналізу є невід’ємним складовим курсу алгебри старшої школи. В роботі розглянуто основні положення, що стосуються поняття граничного переходу, а також питання застосування його в шкільному курсі математики Today, the beginnings of mathematical analysis are an integral part of high school algebra. The paper considers the main provisions concerning the concept of boundary transition, as well as the question of its application in the school course of mathematics.